ניתוח אלמנטים סופיים: מה ההבדל בין אלמנטים מסדר ראשון לסדר שני?


תשובה 1:

ווספי זכריה סיפק תיאור מצוין של הגישה המבדילה את הצו הראשון מהרכיבים מסדר שני.

יש מורכבות עדינה המובאת באלמנטים ככל שהם הופכים לסדר גבוה יותר.

הבה נתבונן במשולש במרחב האמיתי.

פונקציית הצורה הקנונית בקואורדינטות אמיתיות עבור יסוד משולש לינארי היא:

P = a + bx + cy (3 פרמטרים ו -3 צמתים)

ו

dP / dx = b או שהמתח בכיוון x יכול להשתנות באופן ליניארי ב- y.

dP / dy = c או שהזן בכיוון y יכול להשתנות באופן ליניארי ב- x.

פונקציית הצורה הקנונית בקואורדינטות אמיתיות למשולש דו-צדדי (סדר שני) היא:

P = a + bx + cy + dx ^ 2 + ey ^ 2 + fxy (6 פרמטרים ו 6 צמתים)

ו

dP / dx = b + dx + fv

dP / dy = c + ey + fx

ושוב יש לנו התנהגויות מתח סימטריות.

כעת בואו נסתכל על אלמנט הארבעה הרביעיים:

P = a + bx + cy + dxy (ארבעה פרמטרים, ארבעה צמתים)

ו

dP / dx = b + dy

dP / dy = c + dx

שימו לב שיש א-סימטריה בשדות d / dx ובשדות זן d / dy.

כעת בואו נסתכל על המרכיב הסרנדיפיטי הדו-משמעי (שמונה צמתים):

P = a + bx + cy + dx ^ 2 + ey ^ 2 + fxy + gxy ^ 2 + hx ^ 2y (שמונה פרמטרים, שמונה צמתים)

ושדות הזן עשויים להיקבע על ידי

dP / dx = b + 2dx + fy + gy ^ 2 + 2hxy

dP / dy = c + 2ey + fx + 2gxy + hx ^ 2

ושוב שדות הזר אינם סימטריים.

אז לאלמנטים משולש (ואלמנטים טרטרדריים i 3D) יש שדות מתח סימטריים (ומכאן מתח) ואילו האלמנטים הרביעיים בסרנדיפיות אינם.

למה זה משנה?

בואו להסתכל על שדה תזוזה קבוע וטהור (מתיחה קבועה). כל האלמנט רק יציג את מונח המתח המתמיד וכולם יתנהגו באותה מידה.

בואו להתבונן במתח ליניארי על פני הקטע (כמו לומר בכיפוף טהור). המשולש הליניארי הוא מתח קבוע וכך תואם את המתח האמיתי כסט פונקציות של צעד ומתכנס לאט מאוד. לבעיות מסוימות (פלסטיות) אלמנטים אלה למעשה ננעלים ומוצגים כראוי, התנהגות ההתכנסות היא מוזרה. עם זאת, האלמנטים הדו-גלוניים יכולים לייצג במפורש את שדה המתח המשתנה באופן לינארי בשני או ב- y והיסודות מתכנסים באופן מיידי עבור אלמנט אחד.

כעת בואו נסתכל על שדות תזוזה בסדר גודל גבוה יותר, נניח שדה עקירה מעוקב שמניב שדות זן ריבועיים (כיפוף תחת עומס קצה). המשולש הדו-צדדי יתאים לשדה העקירה לקבוצת שדות ריבועיים וההתכנסות מהירה יחסית. כמו חכם, ניתן לייצג באופן סימטרי את וריאציית שדות המתח על פני האלמנט ושדה הזן מתנהג היטב. בואו נסתכל על האלמנטים המרובעים. הם גם ימפה את שדה העקירה כמקבץ של שדות עקירה ריבועיים ויתכנסו די מהר. עם זאת ישנם כעת רכיבי זן מסדר שני ואלה יכולים לרגש את מונחי הסדר השני בנגזרת של פונקציות הצורה. וככל ששדה העקירה מתגבר ומורכב יותר, שדות הזן הגבוהים יותר מתלהבים. התוצאה יכולה להיות זנים מתנדנדים (ומכאן מתחים), ראה להלן.

נלקח מ:

ניתוח מבני בשיטת האלמנט הסופי. סטטיסטיקות לינאריות

זה נדון יותר ב:

הכיכרות המעטות ביותר מתחות את החלקה עבור אלמנט הלחץ של מישור סרנדיפיטי שמונה צמתים

ו

נהלי אלמנטים סופיים

ו

ניתוח מבני בשיטת האלמנט הסופי. סטטיסטיקות לינאריות

ריבועי הכפר המוחלקים ביותר על האלמנט (הקו הישר במקרה זה) הוא פיתרון יעיל מאוד לאתגר זה.

השפעה:

1) מרובעים / מלבנים מתכנסים מהר יותר משולשים / טטרהדררה

2) אלמנטים בילינאריים מתכנסים הרבה יותר מהר מאשר אלמנטים לינאריים

3) רביעיות / מלבנים דו-גליליים (או מלנגריים או ...) רגישים לתנודות מתח טפיליות.

4) ההתאמה המרובעת לפחות של שדות המתח / הלחץ על היסוד יעילה מאוד להפחתת תנודה זו


תשובה 2:

לאחר שיקול דעת ב- FEA, לכל האלמנטים מוקצית פונקציה (פולינום) אשר תשמש לייצוג ההתנהגות של האלמנט. עדיפות משוואות פולינומיות לכך שכן ניתן להבדיל ולשלב אותן בקלות. סדר של אלמנט זהה לסדר המשוואה הפולינומי המשמש לייצוג האלמנט.

לאלמנט ליניארי או אלמנט מסדר ראשון יהיו צמתים בפינות בלבד. זה משהו כמו המבנה המעוקב בקצה Edge.

עם זאת, לאלמנט מסדר שני או אלמנט ריבועי יהיו צמתים בצד האמצעי בנוסף לצמתים בפינה (קצה + גוף + מבנה מעוקב מרוכז).

לאלמנט ליניארי בתרשים לעיל יש בבירור שני צמתים בקצה ומכאן שצריך להקצות משוואה לינארית לייצוג התנהגות האלמנט.

עם זאת, אלמנט ריבועי זקוק למשוואה ריבועית כדי לתאר את התנהגותו שכן יש לו שלושה צמתים.

עבור אלמנטים בהם תרצה ללכוד עקמומיות, עדיפים פולינומים בסדר גודל גבוה יותר. אלמנטים מסדר ראשון אינם יכולים ללכוד עקמומיות.

לסדר האלמנט אין שום קשר לגאומטריה. בתרשים להלן, עבור אותו משולש, ניתן לעשות סדר ראשון כמו גם שיקול דעת שני, אולם לסדר שני סיכויים טובים לתפוס את העקמומיות.

בכדי ללכוד במדויק עקומות מורכבות, יש צורך בפולינום מסדר גבוה מאוד אך הם מגיעים למחיר של זמן חישוב מוגבר. מכאן שעדיף להחליף בין דרגת דיוק לזמן חישובי.

כעת, ניתן לדבר על מספר צמתים בין אלמנטים מהסדר הראשון והשני. מספר הצמתים מגיע למשולש של פסקל.

להלן משולשים. עבור סדר 0, מספר המונחים הוא 1 וזה מספר הצמתים חייב להיות 1.

עבור ליניארי (פולינום מסדר ראשון), מספר המונחים הוא 3 שהוא מספר הצמתים חייב להיות 3.

עבור ריבוע (פולינום מסדר שני), מספר המונחים הוא 6 שהוא מספר הצמתים = 6.

כעת במקרה של ריבועים, עלינו לקחת בחשבון את הכיכר כתוספת של שני משולשים. התוצאות עבור סדר 0, לינאריות וריבוע הן כדלקמן-


תשובה 3:

אלמנטים מסדר ראשון מורכבים בדרך כלל משילוב קווים (כלומר, הבנייה של FOE נשלטת על ידי משוואות דיפרנציאליות ליניאריות או משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון) כלומר משולש, אלמנט tat. הם הכי מדייקים תוך התמודדות עם הצורות המוטות הגיאומטריות כמו ריבוע מושלם, מלבן וכו '. יש להם צמתים פחותים בשטח הרצוי.

אלמנטים מסדר שני מורכבים מעקומות וקווי עקמומיות (כלומר, בניית ה- SOE נשלטת על ידי משוואות דיפרנציאליות מסדר שני) יש להם נטיות להראות את כמות הדיוק הגדולה יותר במוטות גיאומטרית, כמו גם את האלמנטים הגיאומטריים המסובכים או המסובכים מאוד בזמן ביצוע FEA


תשובה 4:

זוהי הפונקציה הפולינומית המתארת ​​את האלמנט, למעשה, עבור האלמנטים בסדר הראשון יש פונקציה כמו: P (x) = a * x + b

ועבור האלמנטים בסדר השני, הפונקציה היא כמו: P (x) = a * x ^ 2 + b * x + c

בתמונה למעלה שורת האלמנטים הראשונה הם סדר ראשון ואילו האלמנטים של הסדר השני נמצאים בשורה השנייה.

נ.ב: אתה יכול לראות את הצורה הפרבולית של אלמנטים מסדר שני, זה הדבר שרכיבים מסדר ראשון לא יכולים לתת לך.